《函数的连续性质及应用》内容小结、题型、典型题与参考课件
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1、连续函数的定义
函数f(x)在x0处连续的三个要素:
(1)在x0的邻域内有定义;
(2)x→x0函数极限存在;
(3)极限值等于函数值.
2、函数连续定义的几种等价描述与证明方法
【注1】增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明,就证明区间内任意一点函数连续,则只要将增量形式中的x0换成x则可以换成任意一点连续性的定义。
【注2】对于分段函数的分界点,区间端点连续性的证明,分别用左连续与右连续的定义,即
【注3】闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续,右端点左连续,而不是连续!
【注4】初等函数在定义区间内任意一点都连续,从而有函数的极限等于极限的函数。即
【注5】函数可以仅仅在定义域内一点连续. 比如函数
仅仅在x=0处连续。
3、间断点及其类型
函数f(x)间断点的判定与连续性的三要素对应,满足如下三个之一即为间断点:
(1)函数在x0处无定义;
(2)函数在x0处有定义,但x→x0函数极限不存在;
(3) 函数在x0处有定义,x→x0函数极限存在,但极限值不等于函数值.
依据函数x→x0左右极限的存在性,可将间断点分为两个大类,四个小类:
●第一类间断点:左右极限存在。
当左右极限相等,则称为可去间断点;左右极限不等,则称为跳跃间断点。
●第二类间断点:左右极限至少有一个不存在;
如果有一个极限趋于无穷大,则称为无穷间断点;否则称为振荡间断点。
【注】间断点存在的位置为分段函数的分界点,或者函数定义区间的分割点。
4、函数间断点的判定
(1)求函数的定义域,找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点xk;
(2)对xk求函数的左右极限,由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势,确定间断点及类型。
5、幂指函数极限的对数函数法
基于函数ex在全体实数范围内的连续性,有
其中要求f(x)在x*的某个去心邻域内大于0,如果f(x)的极限大于0即满足要求,并且可以推得如下结论:
6、连续函数的运算法则与初等函数的连续性
●基本初等函数在定义区间内连续
●连续函数的四则运算的结果连续
●连续函数的反函数连续
●连续函数的复合函数连续
所以初等函数在定义区间内连续
7、有界闭区间上连续函数的性质
在探索求解问题的过程中,只要看到或者推导出闭区间上连续函数这样的描述,应该要在草稿纸上马上写下,或者脑海中马上能够浮出如下结论:
●有界性定理:有界闭区间上连续的函数是有界的
●最值定理:有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的;在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值,也至少存在一点使得函数取到最大值
●介值定理:位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值,在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值
●零值(零点)定理:如果闭区间两个端点的函数值异号,则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0
●如果x1, x2,…,xn∈[a,b],f(x)在[a,b]上连续,M是函数f(x)在该区间上的最大值,m是函数f(x)在该区间上的最小值,则
8、借助零点定理证明中值等式的基本思路
借助零点定理(介值定理)可以证明方程根的存在性,或者函数零点的存在性,其一般思路为:
(1)变换需要验证等式为简单形式;
(2)将所有项移到等式一侧,一般移到左侧,右侧为0;
(3)令左侧的中值符号为变量x,则令其为辅助函数F(x);
(4)针对讨论的闭区间,或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b],在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号;
(5)如果乘积等于0,则中值即为端点值,结论成立;如果乘积小于0,则区间内存在零点,结论成立。
(6)改写得到的辅助函数零值等式,得到需要验证结论。
其中前三步是关键,合适的辅助函数是成功证明的关键!如果依据构建的辅助函数不成功,则重复以上步骤,重新考虑辅助函数的构建!
参考课件节选
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